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三次方程怎么解，三次方程怎么解因式分解( 二 )

小知识


盛金公式
三次方程应用广泛 。 用根号解一元三次方程 ， 虽然有著名的卡尔丹公式 ， 并有相应的判别法 ， 但使用卡尔丹公式解题比较复杂 ， 缺乏直观性 。 范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式 ， 并建立了新判别法 。 【盛金公式】 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0 ， （a ， b ， c ， d∈R ， 且a≠0） 。 重根判别式： A=b^2－3ac； B=bc－9ad； C=c^2－3bd ， 总判别式： Δ=B^2－4AC 。 当A=B=0时 ， 盛金公式①： X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c 。 当Δ=B^2－4AC>0时 ， 盛金公式②： X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)； X(2 ， 3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)； 其中Y(1 ， 2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2 ， i^2=－1 。 当Δ=B^2－4AC=0时 ， 盛金公式③： X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2 ， 其中K=B/A ， (A≠0) 。 当Δ=B^2－4AC(2A^(3/2)) ， (A>0 ， －1<T0时 ， 方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=B^2－4AC=0时 ， 方程有三个实根 ， 其中有一个两重根； ④：当Δ=B^2－4AC<0时 ， 方程有三个不相等的实根 。 【盛金定理】 当b=0 ， c=0时 ， 盛金公式①无意义；当A=0时 ， 盛金公式③无意义；当A≤0时 ， 盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时 ， 盛金公式④无意义 。 当b=0 ， c=0时 ， 盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时 ， 若b=0 ， 则必定有c=d=0（此时 ， 方程有一个三重实根0 ， 盛金公式①仍成立） 。 盛金定理2：当A=B=0时 ， 若b≠0 ， 则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题） 。 盛金定理3：当A=B=0时 ， 则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题） 。 盛金定理4：当A=0时 ， 若B≠0 ， 则必定有Δ＞0（此时 ， 适用盛金公式②解题） 。 盛金定理5：当A＜0时 ， 则必定有Δ＞0（此时 ， 适用盛金公式②解题） 。 盛金定理6：当Δ=0时 ， 若B=0 ， 则必定有A=0（此时 ， 适用盛金公式①解题） 。 盛金定理7：当Δ=0时 ， 若B≠0 ， 盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时 ， 适用盛金公式③解题） 。 盛金定理8：当Δ＜0时 ， 盛金公式④一定不存在A≤0的值 。 （此时 ， 适用盛金公式④解题） 。 盛金定理9：当Δ＜0时 ， 盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值 ， 即T出现的值必定是-1＜T＜1 。 显然 ， 当A≤0时 ， 都有相应的盛金公式解题 。 注意：盛金定理逆之不一定成立 。 如：当Δ＞0时 ， 不一定有A＜0 。 盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义 。 任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解 。 当Δ=0(d≠0)时 ， 使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation） 。 与卡尔丹公式相比较 ， 盛金公式的表达形式较简明 ， 使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观 。 重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子 ， 由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子） ， 其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式 ， 这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美 。
请问如何解三次方程 你说的是一元三次方程吧： 一元三次标准方程 ：ax^3+bx^2+cx+d=0 两边除以a得 ：x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=0 变成：x^3+b1x^2+c1x+d1=0形式 。 设x=y+a展开 ， 令二次项系数3a+b1=0,a=-b1/3,二次项消了 ， 可变成 ：x^3+px+q=0形式 。 再设x=y+z展开上型式一元三次方程得 (y+z)^3+p(y+z)+q=0,再令(y+z)系数：3yz+p=0 ， 则y^3+z^3=-q 把3yz+p=0变为：(yz)^3=-p^3/27 ， 所以由韦达定理得：y^3、z^3是一元二次方程m^2 +qm-p^3/27=0的两根 解这一元二次方程 ， 两根为：(△≥时有两实根 ， △＜0时有虚根） y^3=A=-p/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2) z^3=B=-p/2-(q ^2/4+p^3/27)^(1/2) 因为y^3=A 就是：y^3-[A^(1/3)]^3=0 所以[y-A^(1/3]*[y^2+A^(1/3)+A^(2/3)]=0 y1=A^(1/3) 、y2=A^(1/3)*ω 、y3=A^(1/3)*ω^2 同理：z1=B^(1/3) 、z2=B^(1/3)*ω^2 、z3=B^(1/3)*ω (其中：ω^2+ω+1=0) 所以原方程的根为： x1=A^(1/3) + B^(1/3) x2=A^(1/3)*ω + B^(1/3)*ω^2, 说明：A^(1/3)意即A的三分之一次方

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