如何证明有界函数,证明导函数有界原函数有界( 二 )


例如, 函数 在其定义域
扩展资料
关于函数的有界性:
(1)函数在某区间上不是有界就是无界, 二者必属其一 。
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界.如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间, 那么函数一定是无界的 。
如函数:

如何证明一个函数有界和无界 因为此函数所有含x的项均为偶次幂, 所以此函数大于零;然后再求x趋于无穷大的时候的极限, 这个极限求出来是二分之一;所以此函数有界, 界就是零到二分之一的开区间
怎样证明函数有界性? 设函数f(x)的定义域为D, f(x)在集合D上有定义 。
如果存在数K1, 使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立, 则称函数f(x)在D上有上界 。
反之, 如果存在数字K2, 使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立, 则称函数f(x)在D上有下界, 而K2称为函数f(x)在D上的一个下界 。
如果存在正数M, 使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立, 则称函数在D上有界 。 如果这样的M不存在, 就称函数f(x)在D上无界;等价于, 无论对于任何正数M, 总存在x1属于X, 使得|f(x1)|>M, 那么函数f(x)在X上无界 。
此外, 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界 。
举例
一般来说, 连续函数在闭区间具有有界性 。 例如: y=x+6在[1, 2]上有最小值7, 最大值8, 所以说它的函数值在7和8之间变化, 是有界的, 所以具有有界性 。 但正切函数在有意义区间, 比如(-π/2, π/2)内则无界 。
sinx, cosx, sin(1/x), cos(1/x), arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx是常见的有界函数 。
性质
无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 。
扩展资料
关于函数的有界性, 应注意以下两点:
(1)函数在某区间上不是有界就是无界, 二者必属其一;
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界 。 如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间, 那么函数一定是无界的, 如

参考资料来源:
【如何证明有界函数,证明导函数有界原函数有界】参考资料来源:

怎样判断一个函数有界无界 设f(x), g(x)都是D上的有界函数,
则在D上, 存在正数M和N,
|f(x)|≤M, |g(x)|≤N
∴|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤M+N
∴f(x)+g(x)也是D上的有界函数 。

推荐阅读