78的因数 【解答】一道逻辑推理数论题
惠斯
好的数学题总能以不同的方式检验我们的思维能力。做好一道题就像品好一杯茶。做的时候很过瘾，做完了还回味无穷。
两周前，我发表了一篇关于逻辑推理的题目(见《逻辑推理数字的一个题目》)。几位读者提交了答案，但由于消息的限制，他们无法提供具体的分析过程。
下面，我给这个问题一个答案。为了方便阅读，我再贴一次标题。
老师脑子里想到了一个双数，然后告诉ABCDEF，六个学生每个人都有一个数。六个数都是这个两位数的因子，互不相同。这六个学生都是聪明诚实的学生。
a和B一起说:“我知道这个两位数是什么了！”
然后，C和D也异口同声地说:“现在我知道这个数是什么了。”
然后，E说:“听他们的，我知道我的数字一定比F大。”
f说:“我的数在C和d的数之间。”
你能推导出这六个因素是什么吗？
首先，我们先搞清楚六位同学都知道些什么。他们都知道自己得到的是一个两位数的因子(为了描述方便，这个数字在下面叫做N)，每个人得到的数字都不一样。所以他们都知道n至少有六个不同的因素。
其次，根据他们回答的顺序，他们得出答案的信息是不同的。a和B是第一个回答的，他们的推导只是基于上一段提到的大家都知道的“公开信息”。c和D在A和b之后回答，他们比后者知道更多的信息是什么？他们知道n至少有两个因子，他们可以根据这些因子直接确定n是什么。
【78的因数 【解答】一道逻辑推理数论题】接下来我们来分析一下A和b的推理过程，他们是同时回答的，也就是说，他们使用了完全相同的信息进行推理。根据这些信息，他们可以推断出n是小于100的倍数之一。但是，他们都直接确定了n的值。一个简单的可能性是，他们拥有的数字只有一个小于100的倍数——也就是说，他们拥有的数字。在这种情况下，这个数字显然大于49。
如果n小于50，那么a和b都得到小于50，他们的推断依据是n至少有6个因子。基于这些信息，他们无法确定n是他们拥有的数字还是两倍于他们拥有的数字。
因此，我们得到了n的第一个性质——n的值大于49。
刚才我们给出了A和B得到数的第一种可能——他们得到的数是N，然而A和B都得不到N，所以一定还有另一种可能。
什么情况下可以根据n的一个真因子直接确定n的值？我们记住这个真因子是p，显然p小于100的倍数不止一个，n就在这些倍数之中。
p是一个什么样的数，当我们可以确定n不是p，而是p的更大倍数的时候？或者用n的因子数！如果p的因子个数小于6，可以确定n不是p。
进一步，我们可以从p的其他两位倍数中确定哪个是n，说明这些数中只有一个数，因子的个数大于等于6。
所以我们得到n-n的第二个性质至少有一个真因子p，p的因子个数小于6，p的两位倍数中只有一个的因子个数大于等于6(从而确定这个倍数的值为n)。
接下来我们来对比一下C~F学生得到的数字。根据他们的说法，四个数中最小的在C或者D手里，可以假设是在C手里。
如果n正好有6个因子，那么一定有人得到数字1。显然A和B拿不到1。1落到C~F手里，必然落到C手里，这时候C显然无法确定n的值..
所以我们可以得到n的第三个性质——n的因子个数大于6。这个属性对于下面的分析非常重要，因为它可以过滤掉大量的可能性。
让我们关注上面介绍的三个属性:
属性1:n的值大于49。
性质2: n至少有一个真因子p，p的因子个数小于6，p的两位倍数中只有一个的因子个数大于等于6。
性质3:n的因子个数大于6。
接下来，我们分类并列出所有满足属性3的两位数n。分类是基于n的素因子分解公式中包含的素因子个数。
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