幂函数的性质与图像「幂函数的性质知识点总结」
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1、幂函数的概念一般地，函数
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叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使
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有意义的值的集合 。
例1、已知幂函数
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，且当
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时
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为减函数 。求幂函数的解析式 。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质 。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键 。
解答：由于
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为幂函数，
所以
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，解得
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，或
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。
当时，
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，
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在上为减函数；
当时，
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，
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在上为常函数，不合题意，舍去 。
故所求幂函数
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的解析式为
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。
2、幂函数的图象和性质图象：
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性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
（2）如果
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，则幂函数的图象过点
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和，并且在区间
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上是增函数；
（3）如果
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，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数 。在第一象限内，当从
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趋向于原点时，图象在
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轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数 。
例2、比较
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，，
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的大小 。
分析：先利用幂函数
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的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小 。
解答：
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而在上单调递增，且
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，
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。故
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。
例3、若函数
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在区间
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上是递减函数，求实数m的取值范围 。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题 。
函数
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是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是
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，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在
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和上都是递减函数 。一般地，形如
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的函数都可以通过对
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的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到 。
解答：由于
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，所以函数的图象是由幂函数
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的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示 。
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其单调递减区间是
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和
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，而函数在区间
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上是递减函数，所以应有
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。
例4、若点
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在幂函数
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的图象上，点
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在幂函数
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的图象上，定义
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，试求函数
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的最大值及其单调区间 。
分析：首先根据幂函数的定义求出
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，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出
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的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间 。
解答：设
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，因为点在的图象上，所以
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，所以
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，即；
又设
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，点在的图象上，所以
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，所以
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，即
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。
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有
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。
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根据图象可知函数的最大值等于
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，其单调递增区间是（
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，－1）和（0，1）；单调递减区间是
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和
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。
例5、已知幂函数
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是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论
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的奇偶性 。
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值 。讨论
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的奇偶性时要注意对字母的讨论 。
解答：由在上是减函数得
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，
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。∵
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，
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0，1 。
又因为是偶函数，∴只有当
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时符合题意，故
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。
于是
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，
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。
当
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且
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时，为非奇非偶函数；
当
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且时，为奇函数；
当且
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时，为偶函数；
当且时，为既奇又偶函数 。
例6、已知幂函数
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在
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上是增函数，且在定义域上是偶函数 。
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数
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。问是否存在实数
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，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出
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的值；若不存在，请说明理由 。
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值 。第二问可根据复合函数单调性的规律来解 。
解答：（1）∵幂函数
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在上是增函数，∴
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∴
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又
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，∴
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∵在定义域上是偶函数，∴只有当
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时符合题意，故 。
（2）由，则
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。
假设存在实数，使得满足题设条件 。令
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，则
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。
∵在上是减函数，∴当
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时，
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；当
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时，
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。
若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则
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在
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上是减函数，且在
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上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是
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即
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，
∴
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。
【幂函数的性质与图像「幂函数的性质知识点总结」】故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数 。
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