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反比例函数的图像和性质

小知识

【反比例函数的图像和性质】一般地 ， 如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数 ， k≠0)的形式 ， 那么称y是x的反比例函数 。 因为y=k/x是一个分式 ， 所以自变量X的取值范围是X≠0 。 而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1） 。
反比例函数性质
1.当k>0时 ， 图象分别位于第一、三象限；当k<0时 ， 图象分别位于第二、四象限.
2.当k>0时.在同一个象限内 ， y随x的增大而减小；当k<0时 ， 在同一个象限 ， y随x的增大而增大.
k>0时 ， 函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时 ， 函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数 。
定义域为x≠0；值域为y≠0 。
3.因为在y=k/x(k≠0)中 ， x不能为0 ， y也不能为0 ， 所以反比例函数的图象不可能与x轴相交 ， 也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交（坐标轴是反比例函数图像的渐近线）
4.∣k∣越大 ， 抛物线开口越大；∣k∣越小 ， 抛物线开口越小 。 反比例函数
5. 在一个反比例函数图象上任取两点P ， Q ， 过点P ， Q分别作x轴 ， y轴的平行线 ， 与坐标轴围成的矩形面积为S1 ， S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
6. 反比例函数的图象是双曲线 ， 有两支 ， 既是轴对称图形 ， 对称轴是y=x或y=-x ， 又是中心对称图形 ， 对称中心是坐标原点.
7.反比例函数图像中 ， |k|的值越大 ， 图像越远离坐标轴.
反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t²-3t+k=0的两根 ， 且P到原点的距离为根号13 ， 求该反比例函数的解析式．
分析：
要求反比例函数解析式 ， 就是要求出k ， 为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵ m, n是关于t的方程t²-3t+k=0的两根
∴ m+n=3 ， 
mn=k,
又∵PO=根号13 ， 
∴ m²+n²=13 ， 
∴（m+n）²-2mn=13 ， 
∴ 9-2k=13．
∴ k=-2
当 k=-2时 ， 
△=9+8＞0 ， 
∴ k=-2符合条件 ， 
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