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如何交换二次积分次序，积分再积分怎么变

小知识


交换积分次序的基本具体步骤 1、二重积分 double integral 
是原则性的积分 ， 是否能积出来 ， 要看三个方面：
A、被积函数的形式；
B、积分区域；
C、积分的先后次序 。
2、累次积分 iterated integral
二重积分 ， 必须写成累次积分 ， 才有可能积出来 。
3、下面的例题 ， 给出了具体的次序 。
原则上是：
第一次积分 ， 可能是：
A、函数积分到函数；
B、函数积分到数字；
C、数字积分到数字；
D、数字积分到函数 。
第二次积分 ， 一定是：
数字积分到数字 。
4、本题原来的积分次序 ， 请参看下面的第一张图片的分割法；
改变积分顺序后的分割法 ， 请参看第二张图片的示意 。
每张图片 ， 均可点击放大；
如有疑问 ， 尽管追问 ， 有问必答 。

怎样交换二次积分次序 这类问题需要先按给定的积分次序画出积分区域草图 ， 然后再确定更换次序后的积分限以完成解题 。
①以本题为例 ， 先看最右边的积分变量是x ， 那就涉及曲线x＝y和x＝√y ， 也就是y＝x和y＝x^2 ， 这样首次积分就没事了 。 再看末次积分 ， 积分变量是y ， 那y的变化范围就是从0到1.
于是 ， 根据两条曲线y＝x、y＝x^2和y的变化范围是[0,1] ， 就可以把积分区域的草图画出来了 。
②接下来是确定更换积分次序后的积分限 。
为了确定x的积分限 ， 把积分区域向x轴投影 ， 投影区域的最大范围就是x的积分区间 。 本题把积分区域投影到x轴上后得到区间[0,1] ， 所以x的积分下限是0 ， 上限是1 。
为了确定y的变化范围 ， 通常的做法是：在x的积分区间内任取一点x ， 过这点作垂直于x轴的直线 ， 直线从下向上穿过积分区域D ， 其中直线进入区域时的点（即直线与下曲线的交点）对应的y值就是y的积分下限 ， 而直线穿出D时的点（直线与上曲线的交点）对应的y值就是y的积分上限 。 本题中 ， 在x的积分区间[0,1]内任意一点x处 ， 作垂直于x轴的直线 ， 该直线在与y＝x^2的交点处进入区域D ， 所以y的积分下限为x^2；上述直线在与y＝x的交点处穿出区域D ， 所以y的积分上限是x.
综合①、② ， 得到更换积分次序后的首次积分限（对y积分）下限为x^2 ， 上限是x；而末次积分限（对x积分）下限为0 ， 上限为1.
如何变换二次积分的积分次序？ 二重积分的交换积分次序交换方法是:

  1. 画出积分区域的草图 ， 并解出联立方程的交点坐标；
  2. 从原则上来说 ， 尽可能一次性地积分积出来最好 ， 也就是说 ， 积分区域最好是一个联通域 ， 在这个联通域内 ， 不需要将图形分块 。 换句话说 ， 就是一次性先从左到右然后从上到下积分 ， 或一次性先从上到下然后从左到右积分 。 第一次一般是从函数积分积到函数 ， 
    第二次一般是固定的一点积分到另一点 。
  3. 有时候上面的方法并不适用 ， 不得不将图形切割成几小块 ， 这是有被积函数的形式决定的 。 譬如sin(x^2)根本无法积分 ， 如果能先对y积分 ， 积到y=x ， 就可以积出来了 。

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