你知道哪些令人费解的数学难题

天使问题
天使问题是由英国数学家约翰·何顿·康威（John Horton Conway）提出的一个博弈论问题，他在1982年出版的《Winning Ways》中描述了天使问题（the angel and the square-eater），现在通常被认为是天使和魔鬼的游戏。

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假设有一个无限大的方格棋盘，天使和恶魔就在上面玩游戏。
在游戏开始之前，天使停留在棋盘上的某一点（天使的起点），获得指定权力 K （正整数），即每一轮天使可移动的方格数。
在每一轮游戏中，恶魔都在棋盘上放置一个路障，当然，路障不可以放在天使的停留处。
有恶魔开始放置第一个路障，然后天使就沿着棋盘上的方格移动K格（纵、横、斜的相邻方格均可），移动过程可以穿过路障，但是停留处不可是路障处。

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天使再次停留后，恶魔就设置第二个路障。。。
如此进行下去，如果在某一轮，天使停留在恶魔设置的某一个路障所在的方格中，恶魔就获胜；如果天使能无限地继续游戏，则天使获胜。
给出游戏规则后，康威提出了天使问题：一个能够获得足够权力的天使能赢吗？
为了激励有人来解决，康威提供了这样一个奖励方案：

①对于一个足够高权力的天使的获胜策略，奖励100美元；
【你知道哪些令人费解的数学难题】②不论天使的权力如何，证明恶魔获胜的策略奖励1000美元。

而就在1982年，这个游戏设计者康威本人就证明了在以下两种情况下，恶魔有获胜的策略：

①当天使可移动的方格数 K = 1 时，恶魔有必胜策略；
②如果天使永远不会降低其 Y 坐标，则恶魔有必胜策略。

到了1996年，康威又证明了：如果天使一直增加它到起始点的距离，则恶魔有必胜策略。

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康威心心念念的天使获胜策略还是没有人能提出来。。。
直到2006年，有四位数学家几乎是同时独立发现了天使的必胜策略：

布莱恩·鲍德奇（Brian Bowditch）证明了当K=4时，天使有获胜策略；
奥迪瓦·克洛斯特（Oddvar Kloster）和安德拉斯·马修（AndrásMáthé）证明了当K=2时，天使有获胜策略；
彼特·伽克斯（PéterGács）的证明仅适用于更大的常数。

Thrackle问题
Thrackle问题也是康威提出来的，被称为“康威的恐怖问题” 。

在一个图中，只有一些点以及点与点之间的连线，如果每一根线条都与其他所有线条刚好只相交一次，这个图就被称为是“thrackle” 。

下图就是满足要求的3个thrackle：

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可以看出它们的一个特点：线条数都没超过顶点数。
而康威的Thrackle问题就是：是否存在线条数大于顶点数的thrackle？
有趣的是，像上面介绍的天使问题一样，康威也悬赏了1000美元来征解。（动不动就悬赏）
只不过，到目前为止，还没有人能找得到线条数大于顶点数的thrackle，而目前已知的最好的结果是，一个 thrackle 的线条数不会超过顶点数的167/117 。
下图就是线条数和顶点数相同的一个thrackle（6个点、6条线），而此时想要在两个点之间添加一条线，使得这条线与其他所有线只相交一次，是不可能的！（各位模友可以尝试一下）

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利克瑞尔数
在了解利克瑞尔数之前，我们先讲讲回文以及回文数。（palindrome number）
“回文”（palindrome）是古今中外都有的一种常见的修辞手法和文字游戏，是指“顺着读和反过来读都能读通的句子”，古人喜欢用这种方式来体现两种食物之间的联系，甚至是得到相矛盾的结果。

例子：
①人人为我，我为人人。
②《易经．系辞》：日往则月来，月往则日来。
③英语中最著名的一个回文，是拿破仑被流放到Elba岛时说的一句话：Able was I ere I saw Elba.(在我看到Elba岛之前，我曾所向无敌。)

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而在数学中，也存在具有这一特征的数字，即“正读反读都一样”的自然数，称为“回文数”，0是最小的回文数。
关于回文数的获取，有这样一个算法：

第一步：随机找一个十进制的数（如46），把它倒过来变成另一个数（64），再把这两个数相加（46+64=110），得到一个和数（110）；
第二步：将这个和数倒过来（011），再与原来的和数相加（011+110=121），又得到一个新的和数；
按照这个步骤，一步步往下算，直到得到一个回文数为止。（例子中的121已经是一个回文数，如果接着算下去，还会得到更多的回文数。）

既然方法如此简单而且有趣，人们纷纷加入这个回文数的探索之旅。
不过，人们慢慢发现，并不是所有数都像上面所举的例子那样只需要2步或者几步就可以得到一个回文数，数字89的“回文数之路”就非常漫长，足足要经过24步才得到第一个回文数：8813200023188 。
随着计算机的发展，人们已经开始通过编写程序来获得回文数。

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然而，有这样一个神奇的数字：196，专家表示打死都得不到回文数，因为他们按照上面的步骤用计算机进行了数亿次的迭代，还是无法得到一个回文数，像这种数，就称为“利克瑞尔数”（Lychrel Number）。
而现在的推论，196只认为是第一个可能的利克瑞尔数，因为还没得到任何有力的证明。
太大了。令人费解？让陶哲轩费解还是让我费解？
让陶哲轩费解的难题也很多，比如孪生素数猜想，哥德巴赫猜想。他虽然证明了格林-陶定理，是数论的绝顶高手，但也不是所有数论问题他都能解决的。最大的困难还是黎曼猜想，同样令他费解。我最近买了2本他的书《庞加莱的遗产》，就是他多年来的博客文章的文集，你可以去看看他的这个书，里面写了很多他的思想与困惑。这些都是令他费解的。
令我费解的数学难题也很多。比如我在里就问过自己，我无法预测圆周率里会不会出现我的身份证号码，我也不知道3X+1猜想怎么证明。我甚至连有限群的杨图中的那些钩形规则是怎么来的都不清楚，我也看不懂拉马努金的lost的笔记本里的大部分数学公式。我也是很困惑啊。
所以，对我来说，数学难题就更多了，但我至少还有研究生学历，很多人只是中学学历，难题岂不是更多？比如有的中学生连三次方程都不会解，对他们来说，可能为什么非奇异的椭圆曲线上的有理点能构成群也是令人费解的数学难题。