霍奇猜想 黎曼猜想的一个“有趣”证明 当今数学界最重要的数学难题之一
我将在接下来的两篇文章中讨论其他理论。
当你在互联网上这样做时，你会发现拓扑和整数解的数量之间有一种有趣的相互作用。
我们可以在有限域上做同样的事情。域/3中多项式p=y-x的几何形式来源于代换和查零集。作为“几何图形”更难想象，但实际上更容易处理，因为它是有限的。
事实上，我们可以确认{，，}是仅有的三点。我省略了一些重要的细节，但这种思维方式足以抓住要点。
ζ函数
假设我们从一个有p个元素的有限域开始，比如f，还有一条“曲线”c。
我们可以计算c，n的点数。
然后我们可以在有p 2元素的场中看同样的方程，称之为n，以此类推。
所以n是一个函数。n是具有p k元素的域中c的点数。
下一部分看起来很复杂，但会大大简化。
考虑到功能:
c的局部ζ函数定义为:
这可能看起来很疯狂，但我们可以很容易地通过一个例子看出，定义是为了消除和简化而构建的。
如果我们从多项式p=x开始，那么x=0在任何域中的唯一解就是x=0。
无论我们检查多少个域，都只有一个点。因此，对于所有K，n = 1..
让我们替换:
因此:
韦尔猜想是安德烈·韦尔在1949年提出的关于任意x的z猜想。从那以后，它们一直是代数和算术几何研究的主要驱动力之一。
数学家们已经证明了几十年，并找到了许多现代的替代证明。关键结论是，韦尔的猜想之一是这些函数的黎曼猜想。韦尔自己证明了有限域上曲线的黎曼猜想。
通过适当的几何机制相对容易证明。
只有一个元素的域
我们终于准备好讨论只有一个元素的域了。
记住，它不存在。
但是我们的想法是建造一些东西，这样我们就可以做一个广义几何。想一想，它的性质是“约简mod p”，任何素数p都会给我们一个有p个元素的域。
这个事实可以用几何方法来重述。有一个几何空，X=Spec，所以对于每个素数p，减少mod p得到一个点f，在一个有p个元素的域上。
我们计算了一个点的局部ζ函数，它是1/。
但是我们通过减少mod p得到了一个局部ζ函数，当你把这些结合起来得到x的“全局”ζ函数时，正确的方法是乘以和追踪素数，我们可以得到:
黎曼ζ函数的乘积形式。这就是我们一直在寻找的。
如果有一个叫F_un的东西，它的作用就像一个有限域，我们可以把X=Spec作为它上面的一条曲线，然后用Weill定理证明黎曼猜想。
【霍奇猜想 黎曼猜想的一个“有趣”证明 当今数学界最重要的数学难题之一】数学家在这个领域做了一些伟大的工作。也许有一天我们会有一个证明黎曼猜想的乐趣。
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