相位噪声是与哪种类型的抖动相对应，彼此之间又有着怎样的数学关系
每当介绍相位噪声测试方案时，都会提到时间抖动，经常提到二者都是表征信号短期频率稳定度的参数，而且是频域和时域相对应的参数 。正如题目所示，相位噪声与时间抖动有着一定的关系，那么相噪是与哪种类型的抖动相对应，彼此之间又有着怎样的数学关系，这些疑问都将在文中找到答案 。
1. 相位噪声与时间抖动概述
相位噪声通常是针对CW信号而言的，是表征信号频谱纯度的非常重要的参数，衡量了信号频率的短期稳定度 。相位噪声是频域的参数，在时域还有一个与之对应的参数——随机抖动，二者之间存在一定的数学关系，可以相互转换 。
在前面关于相位噪声测试的文章中，给出了IEEE早期关于相噪的定义，同样的，关于时间抖动，SONET规范也给出了相应的定义：
“Jitter is defined as the short-term variations of a digital signal’s significant instants from their ideal positions in time”.
抖动定义中给出了三个要素：
(1) significant instants，通常是指信号的上升沿或者下降沿；
(2) ideal positions in time，这是指信号上升沿或下降沿在时间维度上的理想位置；
(3) short-term variations，信号实际上升沿或下降沿相对于理想位置时间偏移的短期波动 。
虽然定义中只提到了数字信号，但实际上具有普遍适用性，当然对于CW信号也是适用的 。
上述定义所给出的是一种综合性抖动，按照不同的原因机制，又可以分解为多种不同的抖动分量，包括：随机抖动，周期性抖动，数据相关抖动，占空比失真等 。
CW信号可以理解为一种特殊的数字码流信号，理论上只有随机抖动和周期性抖动这两种分量 。随机抖动是由宽带噪声引起的，周期性抖动是由串扰引起的，从产生机制上讲，都相当于对信号进行了调频或者调相 。
高端的频谱仪及专业的相噪测试设备，除了能够给出相位噪声，还可以测试载波附近的spur 。根据产生的机制可以判定，相位噪声是与随机抖动相对应的，spur是与周期性抖动相对应的 。
【相位噪声是与哪种类型的抖动相对应，彼此之间又有着怎样的数学关系】 下文主要聚焦在相噪与随机抖动的关系，后面所提到的抖动，除非特别说明，否则一律视为随机抖动 。
2. 相位噪声与时间抖动有何关系？
理想的CW信号用公式可以表示为
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相位噪声可以理解为宽带随机噪声对CW信号的相位调制，因此，CW信号的频谱具有对称的左右两个边带 。
从相位调制的角度看，经宽带随机噪声u(t) 调制后，已调信号可以表示为
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式中，kPM为调相比例系数，u(t) 为宽带随机信号，通常可以视为白噪声信号，相当于由无数个点频信号叠加而成 。
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对于u(t) 中包含的任意频点?m，对应的调制信号表达式为
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下面以频率为?m 的信号作为调制信号，从数学的角度推导单边带相位噪声与时间抖动的关系 。
对射频载波调相后，已调信号的表达式为
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由调制信号引起的载波信号的瞬时相位定义为
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通常称θp 为调相因子，表征了载波信号相位波动的最大偏移，单位为弧度rad.，其表达式为
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因此，已调信号又可以写为
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将上式展开为
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因宽带噪声幅度非常小，对载波信号进行相位调制造成的相位偏移也是非常小的，通常θp<<1，则存在如下近似关系：
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上式可进一步写为
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理论上，如果使用单频点信号作为调制信号对射频载波进行相位调制，已调信号可以展开为第一类贝塞尔函数，从展开式可以看出，频谱分量非常丰富，而且关于载波频率左右对称 。而上面的公式表明，却只有载波、左右边带三个频率分量，这正是因为上面做了一些数学近似 。
以右边带为例，其信号功率为
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载波信号功率为
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则在频偏fm=?m/2π 处的单边带相位噪声为
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式中，θrms为载波信号相位波动的有效值 。该公式具有普遍适用性，适用于任意频偏 。
相位噪声表征了某一频偏处的单边带相对噪声功率谱密度，由上式可知，θ2rms表征了双边带相对噪声功率谱密度 。
上面是以宽带随机噪声中的任意单频点信号作为调制信号为例，简要描述了相位噪声的形成，而宽带噪声包含无数个单频点信号，对载波进行相位调制后，那么从频谱上看，同样可以得到左右对称的两个边带，而且左右边带的频谱是连续的 。
随机抖动与相位噪声有什么关系呢？
时间抖动就是指载波信号上升沿或者下降沿在时间轴上的短期波动，随机抖动是由于宽带噪声引起的边沿无规则随机波动，这与相位噪声是一一对应的，边沿的波动是各个频偏处相噪的综合体现 。载波边沿的随机波动，存在一个波动范围，从概率密度上讲，基本服从高斯分布，通常采用标准差表征随机抖动，这也是随机抖动的有效值，也是通常要测试的参数 。
时间抖动引起了相位的波动，只要确定了相位波动的量，那么也就确定了时间抖动 。
将各个频偏处的相位噪声求和并进一步变换可得
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由于相位噪声的边带是连续的，因此，上式可以用积分表示
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当然，测试设备是没有办法进行积分的，只能对离散的测试数据进行求和来模拟积分的效果 。
θrms,total 即为由总体的相位噪声引起的相位波动，结合载波频率并运用如下公式便可以计算出对应的时间抖动
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值得一提的是，上述公式中的相位噪声不是对数值，而是线性值！而且，根据相位噪声计算得到的抖动为随机抖动，换言之，随机抖动与相位噪声是一一对应的 。
3. 如何测试时间抖动？
从目前看，关注时间抖动的信号主要分为两类：快沿信号和CW信号 。前者通常是指在高速串行总线通信中的比特流信号及其时钟信号，这类信号普遍具有非常快的边沿，频谱分量较为丰富 。后者主要是指诸如射频载波、晶振信号等单频点信号，这类信号频谱相对单一 。
使用示波器是测试时间抖动最直接的方法，可以直接测试抖动，而不需要由相位噪声推导而来，对于上述两类信号都是适用的 。尤其是对于快沿信号，不仅要测试各种抖动分量，还要测试幅度、边沿时间以及眼图等信号特征参数，必须要使用示波器进行测试 。
对于CW信号，基本上只关注随机抖动，如果给出了抖动的指标要求，一定会给出对应的是哪个频偏范围 。中高端示波器可以直接测试随机抖动，而且支持设定积分频偏范围，观测该频偏范围内的总随机抖动 。但缺点是，示波器自身的抖动噪底往往较大，如果CW信号自身的随机抖动与示波器抖动噪底相当，那么就无法直接准确测试了 。
如前所述，由相位噪声可以推导出随机抖动，那么就可以先测试相位噪声，然后再根据公式计算出随机抖动 。通过配置自动相噪测试选件，中高端频谱仪测试相噪和抖动更加方便 。而且单纯从随机抖动的测试能力而言，频谱仪自身的抖动噪底也好很多，如果超出了频谱仪的测试能力，还可以选择测试相噪的“专家级”设备——信号源分析仪，相噪测试能力更强 。优点很明显，但缺点也很明显，这些频域设备只能测试频域相关参数，却无法进行时域相关测试！
无论是使用示波器直接测试随机抖动，还是使用频谱仪等设备先测试相噪、再计算随机抖动，整个测试都是非常简单、智能的 。那么，应该如何选择呢？关键还是取决于仪表自身的测试能力和功能是否满足需求！
本期原创工程师：海川
责任编辑：xj
原文标题：如何理解相位噪声与时间抖动的关系？
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