直角三角形斜边中线定理

【直角三角形斜边中线定理】证法1：
δabc是直角三角形，作ab的垂直平分线n交bc于d
∴
ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以db为半径， d为圆心画弧，与bc在d的另一侧交于c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd
∠c’ad=∠ac’d
（等边对等角）
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d
=180°（三角形内角和定理）
∴∠bad+∠c’ad=90°
即：∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c与c’重合（也可用垂直公理证明
：假使c与c’不重合
由于ca⊥ab ， c’a⊥ab
故过a有ca、c’a两条直线与ab垂直
这就与垂直公理矛盾
∴假设不成立
∴c与c’重合）
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中线且ad=bc/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：
δabc是直角三角形， ad是bc上的中线，作ab的中点e ，连接de
∴bd=cb/2 ， de是δabc的中位线
∴de‖ac（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠deb=∠cab=90°（两直线平行，同位角相等）
∴de⊥ab
∴de是ab的垂直平分线
∴ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴ad=cb/2
证法3：运用向量证明
已知rt△abc中， ∠bac=90° ， ad是中线。求证bc=2ad
证明：设向量ac=b ，向量ab=c ，向量bc=a ，向量ad=d
∵ad是bc的中线
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
展开括号，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0 ， |c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
开方得|a|=2|d| ，即bc=2ad
证法4：运用矩形的性质证明
延长ad到e,使de=ad,连接be,ce
∵bd=cd ， ∠bac=90°
∴四边形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
证法5：解析几何证明
以a为原点， ac为x轴， ab为y轴建立直角坐标系，并设c（2c,0）， b（0 ， 2b），那么d（c ， b）
|ad|=
|bc|===2|ad|
证法6：圆
作rt△abc外接圆
∵∠bac=90°
∴ab是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）
∴d是圆心， ad是半径
∴bc=2ad

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