傅里叶变换的性质
傅里叶变换的线性 ， 是指两函数的线性组合的傅里叶变换 ， 等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果 。 具体而言 ， 假设函数 和 的傅里叶变换 和 都存在 ， 和 为任意常系数 ， 则有
若函数 的傅里叶变换为 ， 则对任意的非零实数 ， 函数 的傅里叶变换 存在 ， 且等于
对于 的情形 ， 上式表明 ， 若将 的图像沿横轴方向压缩 倍 ， 则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 倍 ， 同时高度变为原来的 。 对于 的情形 ， 还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称 。 若函数 的傅里叶变换为 ， 则存在
若函数 的傅里叶变换为 ， 则对任意实数 ， 函数 也存在傅里叶变换 ， 且其傅里叶变换 等于
也就是说 ， 可由 向右平移 得到 。 若函数 的傅里叶变换为 ， 且其导函数 的傅里叶变换存在 ， 则有
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 更一般地 ， 若 的 阶导数 的傅里叶变换存在 ， 则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 若函数 以及 都在 上绝对可积 ， 则卷积函数
的傅里叶变换存在 ， 且
若 的傅里叶变换为 ， 的傅里叶变换为 ， 则有
若函数 以及 平方可积 ， 二者的傅里叶变换分别为 与 ， 则有
上式被称为Parseval定理 。 特别地 ， 对于平方可积函数 ， 有
上式被称为Plancherel定理 。 这两个定理表明 ， 傅里叶变换是平方可积空间 上的一个运算符（若不考虑因子 ） 。
文章插图
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