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幂级数的和函数怎么求，求幂级数的和函数结果有n吗( 二 )

小知识

需要注意的是：运用定积分时 ， 要特别注意积分的下限 ， 否则将一定出错 。
柯西准则
级数的收敛问题是级数理论的基本问题 。 从级数的收敛概念可知 ， 级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的 。
因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε ， 必有自然数N ， 当n>N ， 对一切自然数 p ， 有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε ， 即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小 。
幂级数它的结构简单  ， 收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点） ， 并且在一定范围内具有类似多项式的性质 ， 在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算 。 例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2] ， 幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1 ， 3] ， 而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛 。

幂级数的和函数怎么求,做题有什么方法吗? 先求出幂级数的收敛半径 ， 收敛区间 ， 如果幂级数有n、(n+1)等系数时 ， 需要先将级数逐项积分 ， 约掉这些系数 ， 就可能化为几何级数了 ， 求其和 。 当然 ， 与积分对应的 ， 一定记得将来对这个级数的和再求导数 。
同理 ， 如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时 ， 需要先将级数逐项求导 ， 也是为了约掉这些系数 ， 化为几何级数 ， 然后求其和 。 只是将来对这个级数的和再求积分 。
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数） 。 令函数值等于零 ， 从几何角度看 ， 对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看 ， 对应的自变量是方程的解 。 另外 ， 把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>” ， 再把“Y”换成其它代数式 ， 函数就变成了不等式 ， 可以求自变量的范围 。

高数中幂级数的"和函数"什么意思,怎么求? 设和函数为f(x)
f(x)=-x+x2/2-x3/3+...
f'(x)=-1+x-x2+...=-[1+(-x)+(-x)2+...]=-1/(1+x)
所以f(x)=-ln(1+x)
幂级数的和函数到底是怎么求的？书上的例题看来看去也不明白在干啥呀…… 用求导及积分法比较好求：
记f(x)=∑x^(2n-1)/(2n-1)
求导得：f'(x)=∑x^(2n-2)
这样右端就可以求和了 ， f'(x)=1/(1-x2)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]
积分 ， 就得到f(x)=C+1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]
由于有f(0)=0, 因此得C=0
故f(x)=1/2ln[(1+x)/(1-x)]
而∑1/[(2n-1)2^n]=1/√2∑1/[(2n-1) (√2)^(2n-1)]
=1/√2 f(1/√2)
=1/√2*1/2*ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)]
=1/√2*ln(√2+1)
请问一下这个幂级数的和函数应该怎么求？ 当 x=0 时,S(0)=0.当 x≠0 时,
S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),
S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)
= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'
= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,
得 S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了 x=0 的情况.
求一下图幂级数的和函数 ， 要详细过程 利用e^x=1 + x/1! + x^2/2! +... + x^n/n!+... = sum(x^n/n!)求

n^2 +1 = n^2 -n +n +1
s1(x)= sum(x^n/3^n n!) = e^(x/3)
s2(x)= sum(nx^n/3^n n!) = x/3 * sum( x^(n-1)/3^(n-1) *(n-1)!) =x/3 * e^(x/3)
s3(x)=sum(n(n-1)x^n/3^n n!) = x^2/9 sum(x^(n-2)/3^(n-2) (n-2)!) = x^2/9 e^(x/3)
所以和函数为(1+x/3+x^2/9)e^(x/3)

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