密度泛函理论 从量子力学到密度泛函理论（一）
图4。电子双缝衍射结果
“这怎么可能？!"他问自己。“电子和球有本质区别吗？不都是粒子吗？”
2.粒子？博？物质波？
我们的科学家有科学探索的精神。只有一个神奇的实验现象不足以解释这个问题。实验错了怎么办？然后，他把两个狭缝依次堵住，一次只打开一个电子束(面对目前打开的狭缝)。这个实验的结果与球实验完全一致，屏幕显示正态分布(如图2所示)。
这很奇怪。
如果一次只打开一个狭缝，电子和球的结果是完全一样的。但是如果两个狭缝都打开，电子和球的结果就完全不同了。其中，有哪些改变？
经过多次实验，科学家确信电子干涉条纹不是实验误差，而是可重复现象。这时，他从反面思考这个问题:“干扰是什么意思？”干涉显示电子在通过间隙时表现出“波动”行为。那么这个“波”是什么波呢？1926年，梅克斯·玻恩提出这个“波”实际上是一个“概率波”。这个概率是指在空之间的某一点找到物质的概率密度。概率密度是“波函数”的平方(因为波函数是复变函数)。波函数是量子力学的核心概念。它是描述量子系统的唯一物理量。我们测量的所有力学量其实都是均值(海森堡矩阵力学中我们会详细解释)，用来计算均值的概率密度分布是波函数的平方。
注:关于双缝衍射的详细讨论，如果有兴趣，可以参考以下参考书目:
3.狄拉克符号方法
每一个物理都必须有自己的符号系统。经典力学的符号系统由牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学决定。数学基础是变分法；电动力学的符号系统由麦克斯韦方程决定。数学基础是偏微分方程和向量/张量分析。统计物理的符号系统是由等概率原理决定的。数学基础是概率统计和随机分析。那么量子力学也有自己的符号系统，就是狄拉克符号法。量子力学的数学基础是非互易算符理论和线性代数[海森堡矩阵力学]，偏微分方程[薛定谔波动力学]，泛函分析[费曼路径积分]。
狄拉克符号方法的核心是无论哪种表示(表示的概念将在矩阵力学中详细介绍)，波函数的表示方法都是一样的。因此，我们可以把狄拉克符号看作量子力学的语言。其实这种“语言”远没有其他语言(英语、法语、汉语等)难学。).往下看就知道我说的是对的。
量子力学的数学基础是线性代数(而且是复空中的线性代数，我们称之为量子力学中的希尔伯特空)，线性代数的基础是“向量”，所以在量子力学中，我们的波函数可以看作向量，可以使用
。它就代表了一个复向量。那么它的共轭向量可以写成：。它们的内积为：。他们的内心产物是:
。。
从线性代数我们知道，描述线性空可以用基集向量来表示。如果我们假设能找到一组正交的、正规化的、完备的、闭的基(自伴算子的特征向量满足这四个条件。埃尔米特性是指矩阵与其转置共轭矩阵相同。)。这里正交性可以通过Gram-Schmidt正交化方法得到，归一化可以通过加入归一化常数因子来完成。正交和归一化是为了方便我们后续的处理。完备性是指任何向量都可以用这组基数展开。闭合确保展开不会偏离线性空(希尔伯特空)的范围。
我们令其为：（其中,N为基组的数目）。那么我们可以将波函数（向量）展开为：我们做到了:n是基群的个数。然后我们可以把波函数(矢量)展开成:
此时，其共轭向量也可以表示为:
从Dirac符号我们可以很简单的分辨向量的内积和向量组合成矩阵（一阶张量变成二阶张量）。例如，如果我们计算：（注意的性质【正交、归一、完备、封闭】）从狄拉克符号可以简单地区分向量的内积和向量组合成矩阵(一阶张量变成二阶张量)。例如，如果我们计算
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