“社交牛X症”发病原因的数学分析( 三 )
有了上面的一系列铺垫 ， 让我们最终步入正题 ， 看看所谓的社交牛X症的发病原因 ， 及其背后的数学原理 。
首先让我们考虑社交达人所具有的属性 。有人可能会觉得 ， 社交牛X症患者必定朋友多多 。但根据英国人类学家罗宾·邓巴的研究 ， 一个人维持紧密人际关系的人数是有上限的 ， 一般而言为150左右 。换言之 ， 有些人虽然“认识”很多人 ， 但不能建立更进一步的关系 。所以相较于朋友的数量 ， 朋友圈整体质量更能反映一个人社交牛X的程度 。
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敢于乱搭讪并不能证明你就是社交牛X症 ， 因为——
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所以在本研究中 ， 我们沿用WS模型的设定 ， 假设每个节点的邻居都为2k 。同时定义“所有与某节点相连的点之间的实际边数 ， 除以这些点之间可能存在的边数的最大值”为集聚系数（编者注：可反映节点之间结集成团的程度） 。为了方便大家理解 ， 把上面的定义写成简单的数学表达式：
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为了方便理解 ， 这里再举一个例子 。取最简单的情况 ， p=0 ， k=3 ， 上图中红点定义为点i ， Cimax=蓝色边+黑色边 ， Ni=黑色边 。对于最简单的情况 ， p=0（规则网络） ， 我们可以利用小学数学知识（这里真的是小学数学——植树问题的变种有木有） ， 计算Ci 。
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由于规则网络中每个点的情况都是相同的 ， 所以整个网络中所有节点的集聚系数的平均值也等于上面得到的Ci 。而对于一般情况 ， 当p>0时 ， 我们也可以求得每个点的集聚系数和整张网络的平均集聚系数 。根据Barrat和Weigt的数值模拟 ， 网络的平均集聚系数可以近似地记作：
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类似地 ， 我们可以定义节点间的路径长度dij ， 进而求得整个网络所有节点间的平均路径长度L 。平均路径长度指示了网络中两点间最短距离的平均值 。
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值得一提的是 ， 对于社交网络（也就是图论研究的图）而言 ， 存在有向图（与节点相联的边有出入之分）和无向图两种情况 。上面介绍的结论皆是以无向图作为研究对象 ， 但有向图的分析方法类似 ， 只是需要区分dij与dji 。
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无向图（“你爱我呀我爱你”）vs有向图（“你不要过来啊”）（图片来源：giphy.com）
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