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如何解一元二次方程式，一元二次方程怎么解( 二 )

小知识


(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解 。
小结：
一般解一元二次方程 ， 最常用的方法还是因式分解法 ， 在应用因式分解法时 ， 一般要先将方程写成一般
形式 ， 同时应使二次项系数化为正数 。
直接开平方法是最基本的方法 。
公式法和配方法是最重要的方法 。 公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法） ， 在使用公式
法时 ， 一定要把原方程化成一般形式 ， 以便确定系数 ， 而且在用公式前应先计算判别式的值 ， 以便判断方程
是否有解 。
配方法是推导公式的工具 ， 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了 ， 所以一般不用配方法
解一元二次方程 。 但是 ， 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用 ， 是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一 ， 一定要掌握好 。 （三种重要的数学方法：换元法 ， 配方法 ， 待定系数法） 。
例5．用适当的方法解下列方程 。 (选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点 ， 不要盲目地先做乘法运算 。 观察后发现 ， 方程左边可用平方差
公式分解因式 ， 化成两个一次因式的乘积 。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解 。
（3）化成一般形式后利用公式法解 。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 ， 然后可利用十字相乘法因式分解 。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3 ， x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根 。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方 ， 乘法 ， 合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐 ， 仔细观察题目 ， 我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体 ， 则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解 。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时 ， ≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时 ， <0此时原方程无实根 。
说明：本题是含有字母系数的方程 ， 题目中对p, q没有附加条件 ， 因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求 ， 必要时进行分类讨论 。
怎么解一元二次方程组 1、开平方法；形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程 。
2、配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式 ， 再利用直接开平方法求解的方法 。
3、求根公式：一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用 。
4、因式分解：利用因式分解求出方程的解的方法 。
5、计算机法：在使用计算机解一元二次方程时 ， 和人手工计算类似 ， 大部分情况下也是根据求根公式来求解 。
扩展资料：
一元二次方程的解（根）的意义 ， 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 。

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