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如何解一元二次方程式，一元二次方程怎么解( 三 )

小知识


一般情况下 ， 一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）由代数基本定理 ， 一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算） ， 根的情况由判别式决定 。

解一个一元二次方程式？ 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程 ， 它是初中数学的一个重点内容 ， 也是今后学习数学的基
础 ， 应引起同学们的重视 。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,
(a≠0) ， 它是只含一个未知数 ， 并且未知数的最高次数是2
的整式方程 。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程 。 一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法 。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法 。 用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程 ， 其解为x=m±
.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7
（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做 ， （2）方程左边是完全平方式(3x-4)2 ， 右边=11>0 ， 所以
此方程也可用直接开平方法解 。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：
9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(
)2=-
+(
)2

方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=

当b2-4ac≥0时 ， x+
=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程
3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边
3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(
)2=
+(
)2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=
.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式 ， 然后计算判别式△=b2-4ac的值 ， 当b2-4ac≥0时 ， 把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根 。

例3．用公式法解方程
2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,
b=-8,
c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=
=
=

∴原方程的解为x1=,x2=
.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零 ， 把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式 ， 让
两个一次因式分别等于零 ， 得到两个一元一次方程 ， 解这两个一元一次方程所得到的根 ， 就是原方程的两个
根 。 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0

(3)
6x2+5x-50=0
(选学）
(4)x2-2(
+
)x+4=0
（选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8
化简整理得

x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式 ， 右边为零)

(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解 。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0 ， x2=-是原方程的解 。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解 ， 应记住一元二次方程有两个解 。

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