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复数怎么算，复数的运算法则( 二 )

小知识


设z1=r1(cos?1+i sin?1)，z2=r2(cos?2+i sin?2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根据复数乘法的原则z1?z2= r1? r2(cos(?1+?2)+i sin(?1+?2))
令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)，则R点是由P点绕原点旋转?2角度
且以原点为中心伸缩r2倍所得到的点 。

[例题8] 右图是一正方形OABC，已知A(2+i)，试求B、C点的复数坐标 。
Ans：B(1+3i)、C(?1+2i)

[例题9] 复数平面上，设原点O为正三角形ABC的重心，已知A(1+i)，求复数B、C 。 Ans：?1?32 + 3?12 i，3?12 ? 3+12 i

[例题10] 利用棣美弗定理证明：sin3?=3sin? ?4sin3? ，cos3?=4cos3??3cos? 。
复习评量
(A)学科能力测验、联考试题试题观摩：
1. 若复数z与 之积为 ，则z的主幅角为 。 (86日大自)Ans：2?3
2. 设z1=2+ai，z2=2b+(2?b)i，其中a,b为实数，i=?1 ，若|z1|=2|z2|，且z1z2的辐角为?4，则数对(a,b)=？ (85 自) Ans：(103 , 43 )
3. 令z为复数且 z6=1, z?1 ，则下列选项何者为真？
(A) |z|=1(B) z2=1 (C) z3=1或z3=-1(D) |z4|=1 (E) 1+z+z2+z3+z4+z5=0
Ans：(A) (C) (D) (E) (90学科)
4. 令z=2(cos?7+isin?7)，且z?i=2(cosa?+isina?)，试求a=？ Ans：914 (91学科)
(B)重要问题复习：
5. 设复数z= ，求|z|=？ Ans：13065
6. 试求下列各复数的极式：
(1)z=?3+3i (2)z=4 (3)z= ?2i
Ans：(1)z=32(cos3?4+isin3?4) (2)z=4(cos0+isin0) (3)z=2(cos?2+isin?2)
7. 试求下列各复数的极式：
(1)z=sin20?+i cos20? (2)z=cos135??isin45? (3)z= ?3(cos25?+i sin25?)
Ans：(1)z=cos70?+i sin70? (2)z=cos225?+i sin225?(3)z=3(cos205?+i sin205?)
8. 利用数学归纳法证明棣美弗定理 。
9. (1)(cos100?+i sin100?)(cos10??i sin10?) (2)[2(1+i)][3+i]
(3)(?1+3 i)10 (4)(3+i2)30 (5)
(6)
Ans：(1)i (2)4(cos5?12+i sin5?12) (3)?512+5123 i (4)?215 (5)261
(6)
10. 解方程式：(1)(z+2)3+8=0 (2)z4?4z3+6z2?4z+17=0并求以各根为顶点的正多边形的面积 。
Ans：(1)?4，?2?2?，?2?2?2，面积33
(2)z=1+2[cos(2k+1)?4+i sin(2k+1)?4]，k=0,1,2,3 面积=8
11. (1)求5?12i的二个平方根 。
(2)再求复系数方程式z2?2(1+i)z?5+14i=0 Ans：(1)?3+2i，3?2i (2)?2+3i，4?i
12. 求下列各点的直角坐标：
(1)A[4,4?3] (2)B[2,7?12] (3)C[0,?5] (4) D[5,?1] (5)E[3,cos?135]
Ans：(1)(?2,?23 ) (2)(2?62,6+22)
(3)(0,0) (4)(5cos1,?5sin1) (5)(95,125)
13. 求下列各点的极坐标：
(1)A(?2,2) (2)B(1+3 ,1?3 ) (3)C(4cos?7,4sin?7)(4)D(0,?3)
Ans：(1)[22 ,3?4] (2)[22 ,??12] (3)[4, ?7] (4)[3,3?2]
14. 如图，给定z点的位置，且|z|=2，试描绘出1z的位置 。
15. 如图，设?OAB为一正三角形，其中A的坐标为(1,4)
试求B的坐标 。 Ans：(12?23 ，2+32)
(c)进阶问题：
16. 设z1=cos78?+isin78?，z2=cos18?+isin18?
(1)求复数z1?z2的主辐角 。
(2)若(z1?z2)5=a+bi，a,b为实数，求(a,b)=？
Ans：(1)138? (2)(32,?12)
17. 设?=cos2?7+i sin2?7
试求(1)1+?+?2+?3+?4+?5+?6=？
(2)(1??)(1??2)(1??3)(1??4)(1??5)(1??6)=？
Ans：(1)0 (2)7
18. 设zn=(1+i)(1+i2)(1+i3)????(1+in)，n为自然数，则
(1)|zn|=？ (2)|zn+1?zn|=？ Ans：(1)n+1 (2)1
19. 设? =2?n，n为大於1的自然数，试证： ， 。
20. 在极坐标平面上二点，A(52 ,??4)、B(2,cos?135)，则?AB=？Ans：58
21. (1)设n为自然数，若z+1z =2cos?，则证明：zn+1zn =2cosn? 。
(2)若z为复数，且满足 ，则 =?
22. 设z1，z2为复数，|z1|=2，|z2|=1，求|z1+z2|2+|z1?z2|2=？Ans：10
(提示：若w为复数，则|w|2=w? )
23. 已知z1=1+i，z2=?i，试求z3使得?z1z2z3为正三角形 。
Ans：12?3 +32i或12+3 ?32i
24. A,B,C,D表x4?x2+1=0的四个根，P点代表i，试求PA、PB、PC、PD之积 。
Ans：3
复数开根号怎么计算啊 高中数学复数运算法则


加减法
加法法则 
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和 。  

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