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复数怎么算，复数的运算法则

小知识


复数的导数怎么计算啊？ (A)复数的极式：
若点P代表z=x+iy，O为原点，线段OP与x轴正向所夹的有向角为? 。
令?OP=r，则r,? ,x,y有如下的关系：x=r?cos? ，y=r?sin? ，上述的r称为复数
z的绝对值，以 表示 。 ? 称为复数的幅角，以argz表示，我们规定介於0，
2?之间的幅角称为主幅角，以Argz表示 。 一个复数的幅角很多，但主幅角只
有一个 。 即 ，0?Argz<2?
结论：将复数z=x+iy表示成 则称为复数z的极式 。

[例题1] 将下列各复数化为极式：
(1)z=3?3i (2)z= (3)z=sin15?+icos15?(4)z=?cos13?+icos77?

[例题2] 设z为复数，且| z?1z |= 12，Arg(z?1z)= ?3 ，则z=？ Ans：1+33 i
(B)复数极式的乘除法：
(1)复数的乘法：
设z1，z2之极式分别为z1=r1(cos?+isin?)，z2=r2(cos?+isin?)
则
即将复数z1,z2相乘时，其绝对值相乘而其幅角相加 。

(2)复数的除法：
(a)若 ，则 。
(b)若 ，则
(3)棣美弗定理：n为整数，若设 ，则zn=|z|n(cosn?+isinn?) 。

[例题3] 试求下列之值：
(1)(cos100?+isin100?)(cos10??isin10?)(2) Ans：(1)i (2)?12+?32i
(C)解一元n次方程式：
(1)解zn=1之根：
例子：试解z7=1之根 。 (求1的7次方根)

结论：zn=1之根(1的n次方根)可表为 ，其中 。
(2)解zn=a之根：
例子：求1+i的7次方根 。

结论： 之解(a的n次方根)为
。
[例题4] (1)试求1的5次方根，并将代表它们的点描在座标平面上 。
(2)解方程式z4+z3+z2+z+1=0 。

[例题5] 试求解 (z?2)5=?16+163 i 。
(3) 的性质：设 则
(a)
(b)
(c) 的根为 。
(d)

[例题6] 设?=cos2?5+i sin2?5，则求下列各小题：
(1)?5=？ (2)1+?+?2+?3+?4=？
(3)(1??)(1??2)(1??3)(1??4) (4) (2+?)(2+?2)(2+?3)(2+?4)
Ans：(1)1 (2)0 (3)5 (4)11

(D)极坐标：
(1)在引进复数的极式时，我们可知要描述复数平面上一P(a+bi)，除了知道实
部a，虚部b之外，只要能指出P点离原点O多远，及P点是哪一个有向角
?的终边上，亦可标示出P点 。
(2)在平面上选定一点O，再过O作一数线L，以其正向为始边，绕定点O旋
转，使P点恰在其上 。 若其旋转量?，?为一有向角(逆时针为正、顺时针为
负)， =r，我们就可以利用r，?来描述P点的位置，符号：P[r,?] 。 这种
表示法就是极坐标表示法，其中O点称为该极坐标系的极(或极点)，数线L
称为极轴 。 并以[r,?]为P点的极坐标 。

例如：在极坐标上点P[2,5?6]
P点的直角坐标为(2cos5?6，2sin5?6)=(?3 ,1)
例如：在直角坐标上Q(?1，3)
设在极坐标上Q[r,?]
?r?cos? =?1且r?sin? =3
?r=2且? =2?3+2n?，n为整数
?Q点的极坐标可表为Q[2, 2?3+2n?]

[例题7] 设在极坐标中A[1,?6]、B[3,5?6]，试求?AB=？ Ans：13
(E)复数在几何上的应用：
复数运算的几何意义：
(1)复数绝对值的几何意义：
复数z=a+bi的绝对值定义为复数z到原点O的距离
? |z|=|a+bi|=a2+b2
复数平面上有两个点P(z1)、Q(z2)，其中z1=a+bi、z2=c+di
??PQ=|z1?z2|
(2)复数加法的几何意义：
在复数平面上给定A1(z1)、A2(z2)，其中z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
以?OA1、?OA2为邻边作平行四边形OA1PA2，
则P点的复数坐标为z1+z2，?OP=|z1+z2| 。

(3)复数乘法与除法的几何意义：
设z1=r1(cos?1+i sin?1)，z2=r2(cos?2+i sin?2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根据复数乘法的原则z1?z2= r1? r2(cos(?1+?2)+i sin(?1+?2))
我们令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)

(a)旋转运动：当r2=1时
因为?OR=| z1z2|=r1?r2=r1，且方向角为?1+?2，故R点是由P点绕原点O逆时针
旋转?2得到的 。
(b)伸缩运动：当?2=0时，
?OR=| z1z2|=r1?r2，且方向角为?1+?2=?1，因此R点是由P点以原点O为伸缩中
心，伸缩|z2|倍得到的点 。

(3)旋转与伸缩：

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